A Somana, sul Sentiero del Fiume

2 giugno 2009.

Cascatella con invitante pozza

Altra cascatella

Arrivati a Somana (LC), bisogna salire al primo tornante, dove c'è l'imbocco di via dell'Acqua Bianca, punto iniziale dell'escursione, con le indicazioni dell'omonimo Bed and Breakfast. Qui c'è anche un piccolo parcheggio, ma è proprio piccolo, e quando siamo arrivati noi era al completo. Tornando più giù abbiamo trovato finalmente un posto per l'auto, aggiungendo un pezzo di cammino sulla strada asfaltata. Lì ci siamo subito imbattuti in un simpatico signore anziano che, visti i nostri preparativi (zaino in spalla, scarponi, ginocchiere, bastoni e borraccia) ci ha subito chiesto, con aria un po' canzonatoria, "Dov'è che andate a quest'ora?" (come a dire - alle 11 di mattina non è un po' tardi per cominciare un'escursione?). "Eh, volevamo andare su alla cascata!" - "Ah, il Sentiero del Fiume! Ah be', lì dovrebbe esserci un po' d'ombra!". In effetti meno male che buona parte del sentiero è in mezzo ai boschi, perché il sole, quel giorno, era davvero cocente. "Incontrerete qualche biscia...". Ora Nonno stava iniziando a esagerare un po'... "Ehi, così spaventa mia moglie!", mento io, per tagliare corto. "Poi quella mi cambia idea e non vuole più andar sù". "No, be'...", sorride, "avete i bastoni per scacciarle!", tenta, un po' impacciato, di rassicurarla.
R. in realtà non è per niente spaventata. Nonno ci saluta augurandoci buona passeggiata. Non incontreremo alcun terribile mostro (ma poi, le biscie, che male fanno?). Più oltre rideremo dei suoi consigli premurosi.

Purtroppo Maddie ha di recente rotto il legamento crociato, e quel giorno era in attesa dell'operazione. Ora è convalescente e, se tutto va bene, ne avrà ancora per qualche mese, prima di poter ricominciare a venire con noi. Stavolta è quindi rimasta a casa, e Mr. Bentley le ha fatto compagnia. E meno male, perché in alcuni tratti per loro il sentiero sembrerebbe impraticabile.

Imboccando via dell'Acqua Bianca si incontrano subito i primi cartelli che

Io alle prese con una via ferrata

indicano il "Sentiero del Fiume", con il segnavia n. 15B, che insieme a segni rossi sulle rocce ci hanno efficacemente tenuto compagnia per tutto il tragitto. La strada asfaltata, dopo aver superato le ultime case del centro abitato prosegue in leggera discesa con una carrozzabile sterrata, dove si incontrano degli animali (asini e capre) in un recinto. Presto la carrozzabile diventa un sentiero e, nel saliscendi, arriva al livello del torrente. Qui comincia la parte più bella dell'escursione, che costeggia il torrente e lo attraversa numerose volte in facili guadi. Si incontrano cascatelle che si gettano in piccole pozze tanto invitanti, che ero lì lì per tuffarmici.

Uno dei numerosi guadi

La camminata in alcuni punti si fa poi più difficile. Impossibile superare alcuni tratti senza aggrapparsi alle apposite catene inchiodate sulla roccia. In verità non si tratta di cosa poi così terribile, se non per uno come me che soffre di vertigini. La presa alle catene è ben salda, ma lo strapiombo che in alcuni tratti arrivava a una decina di metri non era per niente rassicurante.
La parte più dura della risalita è quando si giunge ai piedi della magnifica cascata di Era. Il sentiero sale ripido, anche qui a tratti con le catene, fino alla sua sommità, dove il sentiero 15B termina all'incrocio con il 15.
Verso destra, in altri quindici minuti si arriva all'alpe di Era con la relativa cappelletta. Noi abbiamo tagliato questa parte e siamo ritornati a Somana, seguendo i segni gialli, lungo il sentiero 15. Questa parte dell'escursione, pressoché pianeggiante, è molto più facile dell'andata. Questo sentiero domina la gola dove scorre il fiume, ed in alcuni momenti è possibile vedere il sentiero 15B percorso prima, dall'alto.

Pilone votivo ad una delle stazioni
della via Crucis

Ad un certo punto si incontra una chiesetta con dei locali che i volontari gestiscono come punto di ristoro, dichiarando di raccogliere soldi per la ristrutturazione della cappella. Abbiamo fatto sosta qui, sfiniti dalla sete (la borraccia da un litro era già stata prosciugata da tempo!).
Dopo una visitina alla fresca chiesetta abbiamo ripreso il cammino. L'ultimo tratto è costituito da una lunghissima discesa su gradini, segnata ad intervalli regolari dalle stazioni della via crucis (che, scendendo, si percorre a rovescio). Il sentiero termina sulla strada principale, ad un tornante più sopra dell'incrocio con via dell'Acqua Bianca.

L'escursione, invero lunga e faticosa, non presenta difficoltà insormontabili, se non i brevi tratti con le catene. Il 15B è tuttavia etichettato con doppia E (Escursionisti Esperti). Poiché il torrente è a rischio di improvvise piene, è sonsigliato se si prevede possibilità di pioggia. A causa dei numerosi guadi (si entra nell'acqua fino alla caviglia) è opportuno calzare scarponi impermeabili.

Andata:

Tempo: 2:41

Distanza: 15.5km

Dislivello: 591m (1146m in salita e 555m in discesa)

Altitudine: da 343m a 934m

Ritorno:

Tempo: 2:06

Distanza: 8.16km

Dislivello: -591m (214m in salita e 805m in discesa)

Altitudine: da 934m a 343m

Traccia GPS dell'escursione.
In rosso l'andata sul sentiero 15B, in giallo il ritorno sul 15.
A: parcheggio; B-C: cascata di Era; D: cappella-ristoro

Statistiche cumulative delle 5 escursioni dall'inizio dell'anno:

Tempo totale: 16:31

Distanza: 58.39km

Dislivello: 3646m

Altitudine minima: 343m

Altitudine massima: 1550m

Sagra del Pisello

Domenica 31 maggio, Casalborgone (TO).

Frittata ai piselli, Voul-au-vent con crema di piselli, Lasagne ai piselli, Gogu (ravioli ripieni di piselli) al burro e salvia, Spezzatino con piselli.

Io, Maddie e Mr. Bentley a Casalborgone

"Signora, ma è da molto che fanno questa sagra?" chiedo alla simpatica anziana signora che pranza con l'amica proprio di fronte a noi. "Mah... saranno almeno trent'anni..." dice pensierosa. E ribatte l'amico (evidentemente in questi paesini si conoscono tutti) lì accanto, che vuole a tutti i costi dire la sua: "Ma và! saranno almeno cinquant'anni!". Si scambiano qualcosa in dialetto piemontese che io non riesco a capire. Poi la signora, rivolta a me, continua "Sì, ma prima qui si vendevano anche tanti piselli. Poi è arrivata la fabbrica della Lancia e i giovani hanno preferito un lavoro sicuro, invece della coltivazione dei piselli. Arrivavano ad esporre anche due-trecento quintali, sà?" e il vecchietto "due-trecento? Superavano i mille quintali!". Adoro chiacchierare con queste persone! "Ho sentito che ci sono delle visite guidate al centro storico. È bello?". "Bellissimo" mi fa la signora, "...vale la pena di andarlo a visitare, solo che, non creda, in venti minuti a piedi riesce a vedere tutto quel che c'è da vedere" - "Venti minuti? - Ci vorrà almeno un'ora e mezza se si vuole guardare bene tutto!"... e via di questo passo, botta e risposta per tutta la durata del pranzo.

La sagra è organizzata proprio bene, si paga in anticipo alla cassa scegliendo dal menù esposto, vengono rilasciati degli scontrini coi nomi delle pietanze. I biglietti vengono poi ritirati, quando ci si siede ai tavoli, dagli efficienti ragazzi della pro-loco, che ritornano dopo poco con i piatti e le bevande scelti.

Per la visita guidata al centro storico, c'è un trenino elettrico con tre o quattro vagoni ("una volta ce n'erano venti, di vagoni" ci assicura il vecchietto). Abbiamo preferito andarci in macchina, per evitare di aspettare la successiva corsa. Il centro effettivamente è piccolo, ma sembra scolpito nella storia. Ogni giardino pieno di fiori curatissimi, ogni vicolo si apre su un nuovo panorama dei colli del Monferrato.

Al mercatino di prodotti tipici abbiamo ovviamente acquistato un paio di chili di piselli e qualche altro prodotto.

Una bella giornata di festa trascorsa in un luogo di pace e armonia.

sito web

Elezioni

Andiamo a votare numerosi, e cerchiamo di buttare giu' dal trono questo idiota.

La Formaggeria

Pagliettina

La parola "turismo" evoca, oltre che riposi al mare o in montagna, visite a musei.
Ovunque si capiti, si trova un qualche museo su un argomento specifico, allo scopo di espiare in uno sfoggio di impegno culturale, ogni possibile concessione al lassismo e al divertimento, quasi si tratti di colpe.
Certamente non si può generalizzare, ma certe volte davvero mi pare che il museo sia solo una scusa per darsi una certa aria di intellettuale, quando proprio non ce n'è motivo.
Ed è forse così che si giustificano certi musei, come ad esempio

Tomino di capra

quello degli strumenti di tortura di San Gimignano, tanto per citarne uno.
Gli strumenti di tortura.
Non bisogna essere un po' maniaci per visitare un museo del genere?
E che dire del feticismo del visitatore del museo dell'Ombrello di Gignese?

Dipende ovviamente dal luogo della vacanza. Non dirò certo che gli Uffizi non meritino di essere visitati se si è a Firenze, o i Musei Vaticani a Roma, o il Louvre a Parigi. Però a me, in generale, il museo m'annoia un po', lo devo ammettere con tono un po' colpevole.
In genere quando siamo in vacanza preferiamo spendere le nostre energie nella metodica ricerca di una osteria autentica, una trattoria genuina, un caseificio artigianale. E così, durante la vacanza nel cuneese di qualche tempo fa (qui le escursioni), siamo finiti nel negozio La Formaggeria, a Torre Pellice.
Visitando un negozio di questo genere bisogna concludere che, dal punto di vista culturale, non si tratta di cosa così diversa da un museo. La filosofia di Bruna Magnano, che gestisce il negozio, è quella di rifiutare i prodotti commerciali di massa e di offrire invece la qualità di nicchia, legata al territorio, che tenta di divulgare la tradizione, preservandola dall'omologazione imposta dal mondo circostante.

Pecorino nel mosto

Ricotta nel fieno

Mi pare che questo sia proprio lo scopo di un museo. Solo che il museo mi evoca un odore un po' "muffoso", La Formaggeria, invece, accoglie il visitatore con un invitante profumo.

Il banco espone decine di formaggi della zona, oltre che altri prodotti: pasta fresca, oli d'oliva, conserve di vario genere... Tra i nostri acquisti ci sono i formaggi illustrati in queste foto:
- Pagliettina, formaggio di latte misto vaccino, caprino, ovino, molle e spalmabile, dal sapore forte e acidulo
- Tomino di capra stagionato, semiduro, sapore intenso e deciso
- Pecorino stagionato nel mosto, semiduro, forti note di sapore provenienti dal mosto che ne colora la superficie della crosta
- Ricotta stagionata nel fieno, semidura, salata, sapore del fieno

La Formaggeria Di Magnano Bruna
Via Arnaud, 6, 10066 Torre Pellice (TO)

Appello in difesa della democrazia, in difesa della Costituzione

Sono giornate molto pesanti, in cui le parole gravano come macigni, e se l’argomento di queste parole sono la Democrazia, il Diritto, la Giustizia, il rischio è che questi macigni si trasformino in frane, di quelle che travolgono interi paesi cancellandone la storia, cancellandone la civiltà, rinnegandone l’etica.
Mancano due settimane alle elezioni europee, nel nostro Paese questo appuntamento, a causa delle parole-macigno del capo del governo, rischia di assumere caratteristiche che vanno ben al di là del risultato puramente elettorale.
Una cosa soprattutto assume un importante valore politico: la coesione che travalica le sigle, di un fronte di difesa democratico della Costituzione e delle Istituzioni.
Attualmente sono cinque i soggetti politici che partecipando alla competizione europea possono rappresentare questo fronte: i due cartelli elettorali di sinistra, il PD, IDV-Di Pietro e UDC.
Dei cinque partiti o movimenti il PD è l’unico che, ad oggi, sostiene la campagna dei referendum di riforma della legge elettorale. Nell’eventualità che il referendum passi ci ritroveremmo con un sistema che prevederà premio di maggioranza al partito di maggioranza relativa (non alla coalizione) e innalzamento della soglia minima di sbarramento. Risultano evidenti due cose: che una minoranza del paese, ma in possesso di una maggioranza relativa, avrebbe uno strapotere e una consistente porzione di elettori non avrebbero rappresentanza parlamentare.
In questi giorni è davanti gli occhi di tutti l’inaudito attacco alle istituzioni da parte del capo del Governo. Credo che proseguire sulla strada del referendum sarebbe come iniettare cellule malate in un corpo che già sano non è.
Il PD deve uscire dall’equivoco e riconoscere che il tema del referendum è di fatto superato da una evidente emergenza democratica e che sarebbe un suicidio della democrazia anche solo ipotizzare leggi che diano maggiori poteri agli organismi di governo.
La democrazia è un sistema di governo con evidenti imperfezioni, ma anche con importanti anticorpi che normalmente impediscono la degenerazione. Il nostro compito è quello di far sì che non calino le difese immunitarie insite nella nostra Costituzione.
Una rinuncia da parte del PD ad appoggiare e sostenere il referendum potrebbe inoltre raccogliere il consenso di molti compagni che non riconoscendosi nell’area dei due cartelli elettorali di sinistra, si troverebbero nell’imbarazzo di un voto all’Italia dei Valori, che pur essendo un partito di sicura opposizione a Berlusconi, non rappresenta la cultura di sinistra, o di una astensione, in quanto non si sentirebbero sufficientemente tutelati proprio in funzione del referendum liberticida.

Blog promotori:

A sinistra
il Russo
La Mente persa
L’eco dell’Appennino
Vengo da lontano ma so dove andare

PS. Chi condivide questa richiesta copi e incolli sul proprio blog il post senza aggiungere o togliere nulla possibilmente segnalando l’adesione a uno dei cinque blog promotori o alla seguente mail indemocrazia@yahoo.it

Il teorema di Pick e gli amori giovanili

Sono un marito fedele.
Ma ci sono degli amori passati che ogni tanto tornano a stimolarmi e a riempirmi la mente, facendomi rivivere le emozioni che provavo quando li frequentavo. E allora eccomi lì a centellinarne i piaceri che ancora una volta, con rinnovato vigore, mi si concedono, quasi nell'ingenuità di una cotta adolescenziale.
Uno di questi amori è la Matematica. ;-)

È grazie a Giovanna e al suo blog Matematicamedie che mi sono imbattuto in un aspetto di questa materia a me ancora sconosciuto. Non avevo mai sentito parlare prima, infatti, del teorema di Pick.
Come la prof. Giovanna spiega esaurientemente nel suo interessantissimo post, che parla di un magnifico lavoro in cui ha guidato la classe dei suoi allievi, il teorema di Pick calcola in modo semplice e conciso l'area di un poligono costruito in un modo particolare.

Per chiarire meglio la faccenda, comincio con qualche definizione.

Avendo una griglia regolare di punti (che possiamo immaginare come gli incroci delle linee di un foglio quadrettato), un "segmento di Pick" è un segmento che unisce due punti della griglia senza incontrarne alcun altro nel suo cammino. Se il segmento incontra qualche altro punto, viene considerato piuttosto come il concatenamento di due segmenti consecutivi allineati.
Un "poligono di Pick" è un concatenamento chiuso e non autointersecante di segmenti di Pick.
È proprio l'area del poligono di Pick che è valutata dal teorema di Pick.

Si noti che la condizione di non-autointersezione è necessaria per il calcolo dell'area.

figura 1

Non avrebbe infatti molto senso valutare l'area di un poligono autointersecante.
Inoltre la condizione per cui un segmento non deve contenere nessun punto della griglia oltre gli estremi, non riduce l'espressività della definizione. Se un poligono ha un lato tagliato da un punto della griglia, be', in quel punto si può considerare un vertice aggiuntivo che forma un angolo piatto. Ad esempio la figura 1 mostra un poligono di Pick costituito da quattro vertici e quattro lati, indicati da colori diversi, pur essendo perfettamente sovrapponibile ad un triangolo.
Come rivela Giovanna, il teorema di Pick afferma che l'area A di un poligono di Pick è data dalla formula

A = PI + PC/2 -1

dove PI è il numero di punti "interni" al poligono (cioè i punti della griglia regolare che cadono nella parte interna) e PC è il numero di punti "al contorno", cioè quelli che costituiscono i vertici dei segmenti di Pick lati del poligono, o, in altre parole, i punti che giacciono sul perimetro.
Evidentemente la formula è valida a meno di moltiplicare il valore ottenuto per l'area del quadretto che definisce la griglia regolare. Per semplicità su questo post si supporrà di considerare una griglia il cui quadretto ha area unitaria.
Riprendendo la figura 1, ad esempio, PI è il numero di punti colorati in azzurro (7), PC quelli in giallo (4), quindi l'area del poligono è
A = 7 + 4/2 - 1 = 8
Funziona. Provare per credere!

In un commento della discussione di seguito al blog citato, Giovanna mi suggerisce un paio di link dove c'è pure la dimostrazione "ufficiale" del teorema di Pick. Io però non ho ancora seguito quei link, ne' ho intenzione di farlo prima di aver inserito questo post, perché ciò che mi affascina della matematica non è tanto il risultato in sè, anche se in casi come questo la formula ha un'eleganza davvero attraente. Ne' tanto meno ho bisogno di una prova concreta per credere nella verità della formula: mi fido di Giovanna!
No, l'aspetto che trovo irresistibile è utilizzare la matematica per trovare una dimostrazione da me.
Questo compito è naturalmente semplificato dal fatto che so già in anticipo quale sia il risultato a cui devo giungere e, non solo, sono già anche convinto che quel risultato sia vero. Si tratta quindi soltanto di trovare la strada giusta per arrivarci (senza navigatore satellitare ;-)).

Mettendomi nei panni dell'eventuale lettore che non conoscesse il teorema di Pick, avverto qui che il seguito di questo post riporta la mia dimostrazione e quindi, se si è interessati a trovarne una potenzialmente diversa, questo è un buon momento per smettere di leggere.

Dunque...

Innanzitutto cerco il modo per contare i punti interni al poligono date le informazioni geometriche sui vertici.
Comincio con il definire un sistema di assi cartesiani centrato in un qualunque punto della griglia che stia più a sinistra e più in basso di tutto il poligono (suppongo che queste due ultime condizioni siano ininfluenti, ma, visto che posso scegliere, mi semplifico la vita!).

figura 2

Mi concentro ora nel trovare un modo semplice per esprimere il numero di punti che stanno "sotto" ad un segmento di Pick. Per "sotto" intendo che hanno ordinata maggiore o uguale a zero e inferiore al punto di intersezione della verticale con il segmento, e che inoltre abbiano ascissa compresa (estremi inclusi) tra le ascisse degli estremi del segmento. Nell'esempio riportato in figura 2 si tratta del numero di punti evidenziati in giallo.

figura 3

Per fare ciò considero la figura costituita da tutti i punti che stanno sotto al segmento più tutti quelli che ottengo ruotando la figura di 180° intorno al punto medio del segmento. Questi punti sono disposti come un rettangolo che chiamo R (un esempio è riportato in figura 3).
Il numero di punti appartenenti a questo rettangolo è chiaramente dato dal numero di punti alla base moltiplicato per il numero di punti in altezza.
Chiamando P1 e P2 gli estremi del segmento, e chiamando rispettivamente (x1, y1) e (x2, y2) le loro coordinate, il calcolo del numero di punti del rettangolo è dato da questa formula:
R = (x2 - x1 +1) * (y2 + y1 + 1)

Il numero R calcolato è un numero pari.

figura 4

Infatti, come mostra la figura 4 è possibile scomporre R in tre rettangoli, evidenziati dai colori rosso, verde e blu. Chiaramente il rettangolo rosso e quello blu sono uguali, e quindi contengono lo stesso numero di punti. La somma dei punti in questi rettangoli è dunque pari. Per dimostrare che R è un numero pari mi basta quindi mostrare che il numero di punti nel rettangolo verde è pure pari.
I numeri dx = x2 - x1 e dy = y2 - y1 sono numeri primi fra di loro. Infatti, se così non fosse, il segmento tra P1 e P2 incontrerebbe altri punti della griglia. Non sarebbe quindi un segmento di Pick, che per definizione non contiene altri punti della griglia oltre agli estremi. Poiché dx e dy sono primi tra loro, almeno uno di essi è dispari (se entrambi fossero pari avrebbero 2 come divisore comune). Di conseguenza, almeno un valore, tra dx+1 e dy+1 è pari. Ne consegue che il loro prodotto è necessariamente pari, e guarda a caso quel prodotto costituisce appunto il numero di punti del rettangolo verde. Perciò R è pari.
Il numero R è quindi divisibile per 2, e il risultato della divisione è dato dal numero di punti che stanno "sotto" al segmento più uno. Infatti per costruzione il numero dei punti appartenenti ad R che stanno sopra al segmento e quello dei punti che ne stanno sotto è uguale, ed è uguale alla metà di R meno i punti che stanno proprio sul segmento (2).

figura 5

Mi interessa ora trovare il numero di punti che stanno sotto il segmento tranne quelli dell'ultima colonna (come indicato, nella figura 5, dai punti colorati di verde). Questo numero, che chiamo Q, è evidentemente dato da
Q = (R-2)/2 - y2
poiché y2 è il numero di punti dell'ultima colonna, e cioè
Q = (x2 - x1 +1) * (y2 + y1 + 1) / 2 - 1 - y2

figura 6

È facile verificare che questa formula è valida anche se il punto P1 sta al di sopra del punto P2 o se hanno la stessa ordinata (cioè y1 = y2).
Nel caso in cui P1 stia a destra di P2 (cioè x1 > x2), la formula è ancora valida, salvo che il risultato è cambiato di segno e viene contato anche il punto estremo coinvolto. Questo risultato è mostrato dalla figura 6.
In questo caso, infatti, la base del rettangolo R è la proiezione del segmento a cui però si escludono gli estremi, invertita di segno. La formula per contarne i punti
R = (x2 - x1 +1) * (y2 + y1 + 1)
indica quindi l'inverso del numero di punti di quel rettangolo. Si noti che l'area vale 0 se x1 = x2 + 1. La prima parte della formula di Q, (x2 - x1 +1) * (y2 + y1 + 1) / 2, indica quindi il numero di punti che stanno sotto al segmento escludendo la prima e l'ultima colonna, come schematizzato dai punti colorati in verde nella figura 6.

figura 7

La seconda parte della formula Q, -1 -y2, invece, indica chiaramente la colonna a sinistra dei punti che stanno sotto il segmento, invertita di segno, contando, stavolta, anche il punto P2 stesso, come mostrato dai punti colorati in blu nella figura 6. La somma algebrica delle due parti, data dalla formula Q
Q = (x2 - x1 +1) * (y2 + y1 + 1) / 2 - 1 - y2
indica dunque il numero dei punti che stanno sotto al segmento, escludendo la colonna di destra e contando anche l'estremo di sinistra, il tutto invertito di segno.

La formula Q mi serve per calcolare, in un concatenamento di segmenti, il numero dei punti che stanno sotto a quelli che vanno da sinistra a destra, ma contemporaneamente sopra a quelli che vanno da destra a sinistra. La figura 7 mostra il concatenamento di due segmenti da sinistra a destra: al numero di punti sotto il segmento rosso si sommano i punti sotto il segmento blu.

figura 8-1 figura 8-2 figura 8-3

Nelle figure 8-1, 8-2, 8-3 viene mostrato il procedimento per sommare algebricamente i punti relativi a due segmenti consecutivi, uno verso destra e l'altro verso sinistra. In 8-1 sono mostrati in rosso i punti del segmento rosso, positivi, in 8-2 in blu i punti del segmento blu, negativi, in 8-3 la loro somma algebrica.

figura 9-1 figura 9-2 figura 9-3 figura 9-4 figura 9-5 figura 9-6

Nella sequenza delle figure da 9-1 a 9-6 si vede la procedura reiterata per i segmenti da P1-P2 a P6-P1 (chiudendo il giro).
Le figure 9-1 e 9-2 mostrano come si sommino due segmenti verso destra, la figura 9-3 mostra i punti che vengono sottratti dalla somma ottenuta al passo precedente. Sono indicati in blu i punti "negativi", cioè quelli che vengono sottratti in eccesso. Tali punti annullano alcuni di quelli positivi al passo 9-4. In 9-5 e 9-6 vengono poi sottratti i punti relativi agli ultimi due segmenti, entrambi verso sinistra.
Il valore che è stato ottenuto dall'iterazione rappresenta il numero di punti interni al poligono, salvo due punti che vengono sottratti in eccesso (gli estremi P1 e P4), e uno che viene sommato in eccesso (P3). Considerando il motivo per cui ciò avviene, si giunge alla conclusione che i punti sommati in eccesso sono quelli che appartengono ai vertici delle "concavità a sinistra" (cioè quelli che formano una concavità tra un segmento verso destra e il successivo verso sinistra), e, viceversa, i punti sottratti in eccesso sono quelli che appartengono ai vertici delle "convessità a sinistra" (cioè quelli che formano una convessità tra il segmento precedente verso sinistra e il successivo verso destra).
È facile dimostrare che, percorrendo un poligono in senso orario, il numero totale di vertici a concavità a sinistra è uguale al numero di vertici a convessità a sinistra meno uno, infatti, ad ogni "cambio di direzione", percorrendo il perimetro del poligono, deve prima o poi seguire un cambio di direzione nel verso opposto. Quindi per calcolare il numero esatto dei punti interni al poligono, se N e' il numero di convessita' a sinistra bisogna sommare N e sottrarre N-1, ovvero sommare 1.

Riprendendo la formula per Q, e generalizzandola sugli indici dei punti:
Qi = (xi+1 - xi +1) * (yi+1 + yi + 1) / 2 - 1 - yi+1
Questa vale per tutti gli n segmenti del poligono, facendo variare i sui valori 1, 2, ..., n. L'indice n+1 identifica il punto P1, in modo che l'ultimo segmento sia quello che congiunge Pn con P1.
Modifico un po' la formula, moltiplicando e raccogliendo:
Qi = (xi+1 - xi) * (yi+1 + yi) / 2 + (xi+1 - xi + yi+1 + yi + 1)/2 - 1 - yi+1
ottenendo, poi
Qi = (xi+1 - xi) * (yi+1 + yi) / 2 + (xi+1 - xi -yi+1 + yi - 1)/2
Posso spezzare in due questa formula, chiamando
Ai = (xi+1 - xi) * (yi+1 + yi) / 2
Bi = (xi+1 - xi -yi+1 + yi - 1)/2
e dunque
Qi = Ai + Bi

Il numero dei punti interni del poligono è quindi dato da
PI = (Σi = 1..nQi) +1 = [Σi = 1..n(Ai + Bi)] +1
ovvero:
PI = (Σi = 1..nAi) + (Σi = 1..nBi) +1

Detti
A = Σi = 1..nAi
B = Σi = 1..nBi
si conclude che
PI = A + B + 1

La parte B si può semplificare. Infatti
B = Σi = 1..nBi = Σi = 1..n[(xi+1 - xi -yi+1 + yi - 1)/2]
o, in altre parole
B = [(x2-x1-y2+y1-1) + (x3-x2-y3+y2-1) + ... + (xn-xn-1-yn+yn-1-1) + (x1-xn-y1+yn-1)]/2
Osservando la formula così scritta si nota che tutti i termini xi e yi si semplificano tra loro, e quel che rimane è -1 sommato n volte, dove n è il numero dei lati del poligono, che equivale evidentemente al numero dei punti che stanno sul contorno del poligono. Quindi
B = -PC/2
e, di conseguenza
PI = A - PC/2 + 1

Cerco ora di calcolare l'area del poligono di Pick.

figura 10

In modo simile a quanto fatto sopra, considero il poligono di Pick segmento per segmento. Ogni segmento, se percorso da sinsitra verso destra, dà un contributo positivo dato dall'area del trapezio formato dal segmento stesso e dalla sua proiezione sull'asse delle ascisse, come esemplificato nella figura 10. L'area del trapezio è data dalla somma delle basi (y1 + y2) per l'altezza (x2 - x1) diviso 2.
Generalizzando, dunque
Ai = (xi+1 - xi) * (yi+1 + yi) / 2

Questa formula vale anche per i segmenti percorsi da destra verso sinistra, salvo il fatto che l'area ottenuta è cambiata di segno, visto che l'altezza (xi+1 - xi) è negativa. La somma algebrica dei contributi di tutti i segmenti comunque vengano percorsi, genera l'area del poligono, come esemplificato dalla sequenza delle figure da 11-1 a 11-6.

figura 11-1 figura 11-2 figura 11-3 figura 11-4 figura 11-5 figura 11-6

Ad ogni passo della sequenza si somma algebricamente la porzione Ai relativa al segmento in questione. Nella figura 11-3 è evidenzata in blu la porzione che viene sottratta in eccesso, e che poi viene ricompensata dall'area positiva sommata al passo 11-4.
La sommatoria
Σi=1..n Ai
che quindi rappresenta l'area del poligono, è proprio uguale alla porzione A della formula ottenuta sopra
PI = A - PC/2 + 1

Elaborando la precedente si ottiene dunque

A = PI + PC/2 - 1

che rappresenta proprio il teorema di Pick.
Ai miei tempi, a questo punto, si concludeva l'esercizio, godendosi il momento di agoniata gloria, con l'acronimo

CVD

Monviso

Monviso visto dal monte Bracco.

Settimana scorsa ci siamo goduta una meritata vacanza. Siamo andati in un'area che non avevamo mai visitato prima: l'area del Monviso.
Purtroppo i primi tre giorni sono stati caratterizzati da brutto, bruttissimo tempo. Ha piovuto parecchio e giu' a valle ci sono state anche delle inondazioni. Fortunatamente i giorni successivi sono stati decisamente piu' clementi, anche se non abbiamo potuto goderci appieno le escursioni che volevamo fare, sia perche' i sentieri erano pieni di fango, sia perche' il maltempo aveva causato piccole frane che rendevano pericoloso o addirittura impraticabile il passaggio sui sentieri. Oltretutto eravamo un po' ingenuamente impreparati alla presenza di tutta quella neve (sara' per il microclima del lago, ma dalle nostre parti, a quell'altitudine, la neve e' pressoche' tutta sciolta).
Nonostante cio' qualche camminata siamo riusciti a farla.

La prima e' denominata "Tumpi la pisso", che nel dialetto locale credo che significhi qualcosa tipo "cascatella nella pozza". Il sentiero parte dalla localita' Rore, nella valle Varaita. Parcheggiata l'auto abbiamo mancato la prima deviazione, pur indicata chiaramente da un cartello di legno, ed abbiamo seguito i marchi bianco e rosso, su una strada asfaltata, finche' ci siamo resi conto di essere in errore. Tornati sui nostri passi abbiamo finalmente imboccato il sentiero giusto, in riva al ruscello. Qui pero' non abbiamo fatto molta strada perche' uno dei guadi del torrente era del tutto impraticabile per il maltempo dei giorni precedenti.
Attenzione! Questo sentiero e' infestato da "savarnot", folletti piantagrane della mitologia occitana. Purtroppo non abbiamo avuto la fortuna di incontrarne di veri: Maddie e Mr. Bentley si sono dovuti accontentare di abbaiare solo ad uno dei fantocci che si possono incontrare lungo il sentiero, a cura dell'associazione culturale locale.

Traccia GPS dell'escursione "Tumpi la pisso": in rosso la prima parte su strada asfaltata, in verde il percorso giusto, purtroppo ostruito. A: parcheggio.

Andata e ritorno sul primo tratto: Tempo: 1:13 Distanza: 4.92km Dislivello: 195m (ampiezza massima 266m) Altitudine: da 896m a 1103m Andata e ritorno sul tratto "Tumpi la Pisso": Tempo: 0:40 Distanza: 2.87km Dislivello: 98m (ampiezza massima 255m) Altitudine: da 896m a 994m

Un'altra bella escursione e' stata quella sul monte Bracco. Parcheggiata l'auto sulla strada vicino al convento e alla locanda, ci si incammina a piedi entrando nel bosco. Spesso l'acqua scorreva sul sentiero rendendo il cammino difficile per il fango. Ogni tanto ci sono delle costruzioni in muretti a secco che fungevano da strutture agricole. Per fortuna eravamo vicini ad una di queste quando d'improvviso e' scoppiato un temporale con grandine e l'abbiamo potuta utilizzare per ripararci. Niente di terribile, ma per paura che la situazione potesse peggiorare abbiamo preferito tornare indietro. Neanche da dire che i cani erano eccitatissimi per l'inusuale condizione atmosferica.
L'intero giro del monte Bracco non sembra presentare particolari difficolta', se affrontato con tempo bello. E' tuttavia decisamente piu' lungo: richiede diverse ore di cammino.

Traccia GPS dell'inizio del giro del monte Bracco: A: locanda e convento; B: rudere in cui ci siamo riparati dalla grandine.

Andata: Tempo: 1:15 Distanza: 4.37km Dislivello: 67m (245m in salita e 168m in discesa) Altitudine: tra 871m e 1005m Ritorno (lungo lo stesso percorso): Tempo: 0:59

L'ultima escursione di questa vacanza e' stata quella da Torrette verso Tenou. Si parcheggia al bordo di una strada secondaria, proprio dove c'e' l'inizio del percorso.

Caprioli al pascolo

All'inizio il sentiero e' costituito da una carrozzabile piuttosto ampia. La strada poi si insinua nei boschi, sempre in salita, passa accanto a qualche casa agricola e ad una cascatella di un torrente affluente del fiume Varaita. Si apre poi in un prato, al termine del quale e' impossibile proseguire a causa di una valanga di neve.
Per la verita' eravamo stati avvertiti, all'inizio del percorso, da un signore gentilissimo a cui avevamo chiesto indicazioni. Dopo averci raccomandato di usare prudenza ci aveva segnalato una deviazione dalla strada maestra, proprio vicino alla madonnina all'inizio del prato, che ci avrebbe consentito di superare l'interruzione.
Ma la visione di alcuni caprioli al pascolo ci ha ripagato a sufficienza per la fatica della salita, e quindi, dopo una pausa rifocillatoria con un trancio di focaccia e un sorso d'acqua, abbiamo deciso di tornare a valle, restituendo la tranquillita' ai "padroni di casa". Purtroppo non siamo riusciti a passare inosservati, nonostante i nostri tentativi di non fare rumore e di convincere i cani che eravamo gia' sistemati per la cena, e che quindi non era il caso di esercitare l'istinto della caccia.

Traccia GPS dell'escursione dalla localita' Torrette: A: Inizio del sentiero; B: sentiero ostacolato dalla valanga; C: madonnina; D: sosta pranzo

Andata (compreso il giro del prato dei caprioli): Tempo: 1:57 Distanza: 5.16km Dislivello: 351m (515m in salita e 219m in discesa) Altitudine: da 1116m a 1495m Ritorno: Tempo: 1:17 Distanza: 4.96km Dislivello: -296m (164m in salita e 460m in discesa) Altitudine: da 1495m a 1116m

Sicuramente torneremo in questa zona per affrontare altri itinerari. Non siamo infatti riusciti ad affrontare quello che piu' ci stimolava, intorno alle sorgenti del Po, tra Pian della Regina e Pian del Re.

Abbiamo alloggiato al Bed & Breakfast Il Bosco delle Terrecotte, a Barge, immerso nella pace dei vigneti, nel rispetto della natura.

Statistiche cumulative delle escursioni dall'inizio dell'anno:

Tempo totale: 11 ore e 44 minuti

Distanza: 34.73km

Dislivello: 2286m

Altitudine minima: 715m

Altitudine massima: 1550m