lunedì 30 aprile 2012

Successione di Fibonacci, proporzione di Dio, ordine democratico e bellezza della natura

Guardando in streaming la serie televisiva Touch mi sono tornate alla mente alcune cose che mi avevano molto affascinato ai tempi del liceo e dell'universita'. Ho pensato che era ora di rispolverarle un po' su Wikipedia.
Ovviamente il telefilm non scava profondamente l'argomento, ma da' un buon spunto per fantasticarci un po' sopra.

La successione di Fibonacci

Leonardo Fibonacci e' un tizio che e' vissuto intorno al 1200, che ha inventato una sequenza infinita di numeri interi. Ecco i primi numeri della sequenza:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

Apparentemente, per chi non conoscesse gia' Fibonacci, si tratta di numeri piu' o meno casuali. A colpo d'occhio si indovina che sono sempre crescenti (a parte il secondo e il terzo che sono uguali), e che divergono (cioe' che al crescere dei numeri cresce anche la differenza tra due numeri consecutivi), ma oltre a questo non dicono molto.

La serie e' definita da una regola semplicissima, e i vari numeri che la compongono sono anche molto facilmente calcolabili (tanto che per scrivere i primi numeri qui sopra non ho consultato nessuna tabella e ho fatto i conti a mente in cinque minuti). Ecco la regola:
Per definizione i primi due numeri sono 0 e 1. I successivi sono dati dalla somma dei due precedenti. Cioe',
N0=0
N1=1
per ogni n>1 Nn=Nn-1+Nn-2

Si tratta di una definizione ricorsiva, cioe' tale che il risultato, per un particolare valore di n, e' dato dalla composizione dei risultati per altri valori di n.
Data la definzione della regola, quindi, e' facile calcolare la sequenza:
N0 = 0
N1 = 1
N2 = N1+N0 = 0+1 = 1
N3 = N2+N1 = 1+1 = 2
N4 = N3+N2 = 2+1 = 3
N5 = N4+N3 = 3+2 = 5
N6 = N5+N4 = 5+3 = 8
N7 = N6+N5 = 8+5 = 13
N8 = N7+N6 = 13+8 = 21
N9 = N8+N7 = 21+13 = 34
N10 = N9+N8 = 34+21 = 55
N11 = N10+N9 = 55+34 = 89
...
A parte l'eleganza della definizione, sembrerebbe trattarsi di una costruzione del tutto artificiosa e del tutto inutile, ma nella sua estrema semplicita' sembra proprio avere tutta una serie di applicazioni pratiche sorprendenti. Ma tempo al tempo, vediamoci prima la "sezione aurea".

La sezione aurea

La sezione aurea, o numero aureo, con qualche eccesso di pathos definita anche "proporzione di Dio" e' un numero dato dal rapporto di due lunghezze, in modo che la prima sia media proporzionale tra la somma delle due e la seconda.
Se ho un segmento AB si tratta di trovare un punto C interno al segmento in modo che la lunghezza AC sia media proporzionale tra AB e CB, o in altre parole:
AB:AC=AC:CB.
(AB sta ad AC come AC sta a CB)

Chiamando AC=a e CB=b, la proporzione diventa:
(a+b):a=a:b
Il numero Aureo φ e' uguale proprio al rapporto a:b
Il suo valore si puo' calcolare come


Facilmente si ricava anche che (a+b):a=a:b=b:(a-b)

Il numero φ, assieme al suo reciproco hanno un sacco di proprieta' matematiche.
Innanzitutto
φ=1,618033988749894848204586834... e' un numero irrazionale.
Sorprendentemente Φ = 0,618033988749894848204586834... (per chi non l'avesse notato, la parte decimale e' identica!)
Ed e' anche vero che φ2 = 2,618033988749894848204586834... (la parte decimale e' di nuovo identica!).

Un'altra proprieta' matematica bizzarra e' che
φ2 = φ10
e che in generale
φn = φn-1 + φn-2
Il che rende φn una sequenza calcolabile in modo ricorsivo, come i numeri di Fibonacci:
φ0 = 1
φ1 = φ
φ2 = φ10 = φ+1
φ3 = φ21 = 2φ+1
φ4 = φ32 = 3φ+2
...
Una caratteristica che a me sembra notevole e' che le potenze di φ crescenti calcolano numeri sempre piu' "quasi interi". Cioe', non esattamente numeri interi ma irrazionali che li approssimano sempre meglio.

Come tutti i numeri irrazionali, φ e' esprimibile come frazione continua (questa proprio non me la ricordavo!). Una frazione continua, espressa come una sequenza di numeri interi [a1, a2, a3, a4, ...] e' il numero calcolato come

(evidentemente per i numeri irrazionali la sequenza di interi che compare nella frazione continua e' una sequenza infinita)
Ebbene, il numero φ e' esprimibile come frazione continua [1, 1, 1, 1, 1, 1, ...], cioe'

Poiche' la sequenza e' composta da tutti numeri 1, cioe' l'intero piu' piccolo possibile, ad ogni elemento che si aggiunge, cioe' ad ogni passo successivo dell'approssimazione, visto che il numero compare al denominatore, si aggiunge la quantita' piu' grossa possibile. Quindi, al passo n-esimo questa funzione continua calcola un numero razionale che approssima il numero irrazionale φ e' in modo peggiore di quanto qualunque altra sequenza, al passo n-esimo, approssimi un altro numero irrazionale.
In altre parole, φ e' il numero "piu' irrazionale" di tutti, cioe' quello che sfugge di piu' di tutti dall'approssimazione tramite una frazione.

E, per uno come me, che si esalta con la matematica al pari di un nerd della peggior specie, gia' queste proprieta' sono entusiasmanti, ma c'e' molto altro.

La sezione Aurea fu scoperta dai Greci nel VI sec. AC. Per i Greci, il numero 5 aveva un'importanza simbolica: era la somma del maschile (3) e del femminile (2). Questa proprieta' ha contribuito all'attribuzione di una certa aura magica alla sezione Aurea, infatti se si disegna il pentagono regolare e le sue diagonali (ottenendo una stella a cinque punte inscritta nel pentagono), i vari segmenti sono in rapporto tra loro come φ: nella figura

AB:AC=AC:CB
Ma siccome CD=AC-CB, allora anche
AC:CB=CB:CD
AC e' anche uguale al lato del pentagono, quindi tutti i segmenti disegnati in figura sono uguali alla prima, all'ultima o alla media ragione della proporzione.
In mezzo alla stella poi, risulta un altro pentagono regolare. Disegnando quindi le diagonali a questo pentagono si ottiene la figura

che ha ovviamente le stesse proprieta' della precedente, e cosi' via all'infinito.
Proprieta' analoghe si possono ricavare osservando il triangolo aureo...


Il significato simbolico della sezione Aurea ha influito nell'arte. Fidia utilizzo' la sezione Aurea per proporzionare le statue del Partenone (per questo l'utilizzo del simbolo φ per denominarne il valore). Leonardo utilizzo' φ per mappare la Gioconda.

Basta comunque cercare un po' in rete per trovare numerosi altri esempi.

Ma che c'entra la successione di Fibonacci con la sezione Aurea?
Dunque, prendiamo la successione, escludiamo il primo numero (che e' zero) e calcoliamo il rapporto tra il terzo e il secondo, tra il quarto e il terzo, tra il quinto e il quarto e cosi' via.
Ho ficcato questo calcolo in un foglio Excel, e questo e' il risultato:

Nella prima colonna c'e' l'indice del numero di Fibonacci riportato nella seconda colonna, alla sua destra. Nella terza colonna c'e' il valore del rapporto tra il numero corrispondente nella seconda colonna e il suo precedente (ovviamente, non potendo dividere per 0, si parte dal terzo numero diviso il secondo). Si nota che i valori della terza colonna convergono molto velocemente al valore di φ. A fianco sono mostrati graficamente quei valori, e si vede chiaramente la convergenza.
Matematicamente si puo' dire che

(per n tendente all'infinito, l'n-esimo numero di Fibonacci diviso per il suo predecessore tende alla sezione Aurea)

Un altro fatto strano che riguarda i numeri di Fibonacci e la sezione Aurea e' il modo in cui sono comparsi nella Storia.
La sezione Aurea e' stata inventata dagli antichi Greci, ma dopo il declino del periodo Ellenistico e' andata in disuso e pressoche' dimenticata per oltre un millennio.
Nel tredicesimo secolo Fibonacci defini' la sua successione, per applicazioni totalmente slegate dalle proprieta' della sezione Aurea, e infatti ne' lui ne' alcun altro ne noto' la correlazione, che fu invece scoperta solo qualche secolo piu' tardi.
Tra l'altro Fibonacci fu il primo a scrivere una funzione ricorsiva, per altro ignorandone l'importanza. Certo, anche la sezione Aurea e molti altri accrocchi matematici scoperti prima possono essere calcolati mediante funzioni ricorsive (che, dall'informatico che sono, trovo davvero geniali, addirittura affascinanti), ma la loro definizione in questi termini e' stata trovata solo dopo Fibonacci.

Va be', si dira'. Si sono scoperte due cose matematiche e dopo oltre un millennio le si sono messe assieme. Tutto molto affascinante, ma ancora non abbiamo trovato a cosa serve tutto questo.

Applicazioni in natura

Prendiamo un foglio a quadretti e ripassiamo a penna un quadretto piu' o meno in centro.
Sotto di esso evidenziamo in modo analogo il quadretto adiacente.
A destra di esso disegnamo un quadrato appoggiato ai due quadretti disegnati precedentemente, che abbia lato la somma dei due (2 quadretti).
Al di sopra del disegno tracciato disegnamo un altro quadrato che ci si appoggi, con lato pari alla lunghezza appena tracciata (2+1=3 quadretti).
A sinistra di tutti questi quadrati tracciamone un altro il cui lato si appoggi alla figura. Il lato di questo quadrato sara' 3+2=5 quadretti.
Facciamo la stessa cosa di sotto. Il nuovo quadrato ha lato 5+3=8 quadretti.
Proseguiamo cosi' finche' c'e' spazio sul foglio.
E' evidente che i quadrati disegnati hanno lato corrispondente ai numeri di Fibonacci.

Ora possiamo inscrivere quarti di circonferenza nei vari quadrati in modo che ognuno sia tangente a quello inscritto nel quadrato successivo e in quello precedente

La curva che abbiamo ottenuto si chiama Spirale di Fibonacci.
In realta' non e' esattamente una spirale: una spirale e' una curva tale che in ogni punto la sua derivata in coordinate polari sia continua. Qui invece non lo e': la curvatura e' costante per ogni ed ha una discontinuita' rispetto al quadrante successivo. In altre parole una "vera" spirale non e' disegnabile con un compasso.
La spirale di Fibonacci e' pero' una buona approssimazione della Spirale Aurea, che e' una particolare spirale logaritmica di cui vi (e mi) risparmio i dettagli matematici.

Il bello e' che in natura ci sono molti esempi di questa spirale. Un esempio e' quello della disposizione dei semi nei fiori come il girasole.

Allo stesso modo si disongono gli eleementi delle pigne, degli ananas, i chicchi di mais sulla pannocchia...

C'e' poi l'angolo aureo, cioe' un angolo che divide l'angolo giro in due parti tra le quali la proporzione e' pari a φ.
Nella maggior parte delle piante le foglie sui rami si sviluppano in modo che ci sia un angolo aureo tra le foglie precedenti e le successive.

Esistono una quantita' di casi in cui si possono notare le applicazioni della sezione Aurea o dei numeri di Fibonacci.
Ad esempio, la maggior parte dei fiori ha un numero di petali pari ad un numero di fibonacci (da Wikipedia: "i gigli ne hanno tre, i ranuncoli cinque, il delphinium spesso ne ha otto, la calendula tredici, l'astro ventuno e le margherite di solito ne hanno trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove")

Una giustificazione di questo comportamento in natura e' data proprio dal fatto che, come abbiamo visto sopra,  la sezione Aurea e' il numero "piu' irrazionale" di tutti.
Ad esempio, nel disegno riportato qui sopra, il fatto che tra ogni coppia di foglie successive ci sia l'angolo Aureo assicura che ogni foglia e' "coperta" da quelle successive il meno possibile, e che quindi ognuna riceva la piu' grande quantita' di luce possibile.
Un'altra ragione e' che, poiche' i numeri di Fibonacci non rispettano un ordine replicabile, proprio per come sono stati costruiti, ognuno contribuisce nella solidita' del tutto. Mi spiego: se la disposizione su una pannocchia dei semi di mais fosse regolare, diciamo 50 semi per ogni giro, ogni seme si troverebbe esattamente allineaato a quelli dei giri successivi e precedenti. La pannocchia rischierebbe di rompersi lungo quelle linee. Inoltre su quelle linee ci sarebbe il massimo affollamento di semi mentre tra una linea e l'altra non ci sarebbe alcun seme.
Certo una soluzione a questo problema potrebbe essere che i semi fossero disposti a "esagono", come le celle dell'alveare. In questo modo i semi sarebbero distribuiti il piu' uniformemente possibile. Ma si potrebbe comunque trovare un allineamento (anzi tre, a l'uno dall'altro), e lungo queste direzioni l'allineamento indebolirebbe la pannocchia.

In altre parole, anche se ne' la sezione Aurea ne' i numeri di Fibonacci sono stati inventati per questo motivo, essi descrivono bene alcuni comportamenti della Natura.
Immagino che l'evoluzione darwiniana abbia sviluppato delle forme che rispecchiano bene queste regole, poiche' vincenti rispetto a tutti gli altri schemi. La disposizione delle foglie ad angoli aurei intorno ai rami assicura una migliore insolazione delle foglie stesse, rispetto ad altre disposizioni piu' regolari.

L'ordine democratico

La ricorsivita' nella definizione della succesione di Fibonacci, e quindi anche in quella della sezione Aurea mi fa pensare ad un ordine che viene dal basso, dalla collaborazione degli elementi stessi che subiscono e traggono vantaggio dalla regola. Il numero n-esimo di Fibonacci e' difficilissimo da calcolare, a meno che non se ne conoscano i due predecessori. Conoscendoli invece e' un gioco da ragazzi.
La disposizione dell'n-esima foglia intorno al ramo e' determinata univocamente da quella precedente, ed essa stessa determina quella successiva. La regola non e' quindi "centralizzata", ma applicata localmente.
A me pare una buona metafora della democrazia. Ognuno contribuisce, nel suo piccolo, all'ordine di sopravvivenza della societa' cui appartiene. Il posto di ognuno e' determinato dai suoi antenati, e determinera' a sua volta le generazioni future. E tutti hanno la responsabilita' di collaborare nel rispetto delle regole che non sono imposte dall'alto, ma si sono sviluppate per necessita' e sono finalizzate alla conservazione della specie.
Io credo che l'umanita' non abbia bisogno di un potere costituito che regoli la vita degli uomini. Credo piuttosto che ogni uomo debba riconoscere di far parte di una societa' naturalmente organizzata, e rinunciare ad un po' delle proprie ambizioni per il bene comune. La foglia che si appropria di un posto che non le compete determina un peggioramento delle condizioni di tutte le altre, compromettendo l'efficienza dell'intero ramo e quindi la sopravvivenza di tutte le foglie (compresa se' stessa).

(Parecchio materiale e alcune foto sono tratti da Wikipedia)

3 commenti:

giovanna ha detto...

Ma grande post!!! :-)
Bellezza e fascino della successione di F.!
Quando hai voglia cerca successione di Fib nelle mie "etichette" :-)

g

dario ha detto...

Ciao Giovanna.
:-) Sapevo ti sarebbe piaciuto.
Sicuramente andro' a cercare Fibonacci nel tuo blog.

pat ha detto...

Grande post,davvero,complimenti!