Sul determinismo ed il lancio di monete.

"Testa o croce?"
"Testa".
Croce.
Ho perso.

La scienza della probabilità dice che c'è perfetta incertezza - non-determinismo - nel lancio di una moneta. E quando c'è perfetta incertezza, dicono che c'è una uguale probabilità per ognuno dei possibili risultati. Poiché la somma deve essere 100%, quindi, deve esserci 50% per la testa e 50% per la croce.
Si possono fare diverse considerazioni per correggere parzialmente questa ipotesi, per esempio, considerando una particolare moneta che sta per essere lanciata, forse il peso di un lato è maggiore dell'altro, e quindi, quando la moneta sta volando, tende a cadere con quel lato verso il basso, e perciò ci sarebbero più probabilità che il risultato sia l'altro lato. Oppure potremmo considerare anche il modo in cui la moneta è lanciata. Per esempio io in genere metto la moneta sull'unghia del pollice della mia destra e rilascio il dito dopo una pressione con la punta dell'indice. Altre persone lanciano la moneta in altri modi, e questo può influire sul percorso che la moneta farà quando vola.
Forse dovremmo menzionare anche la velocità e la direzione del vento.... e, perché no, la forza di Coriolis?

La forza di Coriolis è una cosa che gli scenziati usano per giustificare strani effetti che alcuni eventi possono avere sulla superficie della terra. Per esempio, aprendo lo scarico di una vasca da bagno piena d'acqua, si produce un movimento circolare intorno al buco che gira sempre in senso orario nell'emisfero boreale e antiorario in quello australe. Questo è dovuto al fatto che, come effetto della rotazione della terra, nell'emisfero nord un oggetto vincolato alla superficie si muove verso est, se esposto a sud, più velocemente che se esposto a nord, poiché la circonferenza dei paralleli meridionali è maggiore di quelli settentrionali. Per capirlo, immaginiamo di mettere un anello sopra una palla. Più è largo l'anello, più cade verso l'"equatore". Se si mettono due anelli e la palla gira su se stessa, entrambi gli anelli fanno lo stesso numero di giri al minuto, ma la velocità di un punto sul lato del più grande è maggiore di quella sul lato dell'altro. Se uno cerca di camminare dritto sull'emisfero nord, quindi, tende a curvare a destra, o, in altre parole, a girare in senso orario.
La forza di Coriolis può influenzare il moto della moneta quando vola dopo essere stata lanciata. O no?

Comunque, se non consideraimo tutti questi fatti, il che ci rende la vita facile, dovremmo dire che poiché non abbiamo idea se la moneta cadrà su un lato o l'altro, concludiamo che c'è uguale probabilità per un risultato o l'altro. Non lo sappiamo, quindi può succedere nel 50% dei casi. Bizzarro!

La "probabilità composta" è il calcolo della probabilità nell'osservazione di più eventi. Dati due eventi scorrelati tra loro, la probabilità che uno e l'altro si verifichino è data dalla probabilità che si verifichi uno moltiplicata per la probabilità che si verifichi l'altro. Al contrario, la probabilità che uno o l'altro si verifichi è ovviamente data dal 100% meno la probabilità che non si verifichi il primo e che non si verifichi neppure il secondo. In altre parole, dato 1=100% p₁ la probabilità dell'evento 1, p₂ quella dell'evento 2 abbiamo che:
probabilità dell'evento 1 e dell'evento 2 = p₁ * p₂;
probabilità dell'evento 1 o dell'evento 2 = 100% meno la probabilità di non evento 1 e non evento 2, cioè 1 - (1 - p₁) * (1 - p₂).
Come esempio, calcoliamo la probabilità che lanciando due monete otteniamo almeno una testa. I casi sono:
- due teste, vincente
- la prima testa e la seconda croce, vincente
- la prima croce e la seconda testa, vincente
- due croci, perdente
Vinciamo 3 volte su quattro, che è il 75%, infatti la probabilità che la prima non sia testa è il 50% (0.5), la probabilit'a che la seconda non sia testa è pure il 50%, quindi, la probabilità che una o l'altra sia testa è 1 - 0.5 * 0.5,che fa 1 - 0.25 = 0.75 = 75%.
Un altro modo di considerare la faccenda è questo: lanciamo la prima moneta. Se il risultato è testa (50%), vinciamo, e non è necessario il secondo lancio. Se invece è croce (50%) abbiamo il 50% delle possibilità rimanenti (cioè il 25% del totale) che esca croce, e quindi vinciamo per il 50% + 25% = 75% dei casi
Estendendo il calcolo a un numero più elevato di eventi, la probabilità che almeno uno accada è data da:
1 - (1 - p₁) * (1 - p₂) * (1 - p₃) * ....
Per esempio, lanciando 10 monete, la probabilità che almeno una venga testa è data da:
1 - 0.5 * 0.5 * ... 10 volte, o 1 - 0.5¹⁰ = 1 - 0.0009765625 = 0.9990234375 = 99.90234375%. Quasi il 100%!
Andando un pochino oltre, se lanciamo 100 monete, la probabilità è del 99.999999999999999999999999999921%. Niente male eh?

Abbiamo detto che quando non sappiamo se qualcosa si realizzerà, c'è il 50% di probabilità che lo faccia. Una buffa conclusione di questo è il seguente scenario.
Immaginiamo un pianeta in un altro sistema stellare. Non sappiamo niente di quel pianeta, eccetto che esiste. La domanda è: ci sono elefanti in quel pianeta? Non ne abbiamo idea! Quindi dobbiamo concludere che c'è il 50% di probabilità (visto che il rimanente 50% è la probabilità che gli elefanti non ci siano). E che possiamo dire delle balene? Lo stesso, nel pianeta c'è il 50% di probabilità che ci siano balene. Quindi quante probabilità ci sono che su quel pianeta esistano elefanti o balene? Proprio come il lancio di due monete: 75%. E che dire dei topolini? E dei grilli? E delle pulci? Esseri umani? Senza contare i pomodori e le mele, o i batteri dell'antrace. Se prendiamo in considerazione solamente 100 diverse forme di vita, le probabilità che almeno una di esse possa essere trovata sul pianeta sconosciuto sono quindi 99.999999999999999999999999999921%.
In conclusione, se prendiamo in considerazione un pianeta di cui non conosciamo assolutamente niente, c'è quasi il 100% di probabilità che ci sia almeno una forma di vita. Ci crederesti? io no.
Una spiegazione di questo paradosso è che non è vero che non sappiamo proprio niente di quel pianeta. Per esempio sappiamo di che tipo di materiale è fatto (atomi), perché crediamo che l'intero universo sia fatto in quel modo, sappiamo che può essere gassoso, nel qual caso la vita non può esistere come la conosciamo, o può essere grande o piccolo, in dipendenza di cui la forza di gravità può essere troppo forte e schiacciare ogni forma di vita o troppo debole per trattenere i gas, e quindi per avere una atmosfera in cui la vita possa respirare. Sappiamo che, per permettere la vita, la chimica di quel pianeta deve consentire la formazione di molecole su un certo modello atomico e bla bla bla... be'... non sono uno scienziato per conoscere certi dettagli, ma quel che voglio dire è che non è vero che non sappiamo niente di niente riguardo a quel pianeta. Infatti quel che sappiamo è che le condizioni per trovare una forma di vita su un pianeta sono davvero difficili. Questo lo sappiamo.
Ma se non l'avessimo saputo, avremmo davvero concluso che su un qualunque pianeta sconosciuto c'è vita quasi sicuramente?

La cosa sbagliata è che tendiamo a dare ad un evento un sacco di possibilità di realizzarsi anche se non conosciamo assolutamente niente di quell'evento. Anzi, proprio per questo! Se non avessimo saputo niente riguardo alle monete, avremmo scommesso che, lanciandone una 100 volte il risultato sarebbe stato testa circa 50 volte (qualunque cosa intendiamo con "circa")? Il fatto è che noi sappiamo molto sulle monete. E se non ci crediamo, possiamo sempre provare a lanciarne una un gran numero di volte e contare quante volte viene testa. Una cosa importante che sappiamo, per esempio, è che una moneta ha due lati, e cadrà sul tavolo su uno dei due. Questa semplice regola per esempio non si applica a una nave spaziale dove non c'è gravità, per la semplice ragione che non c'è un "sù" dove lanciare la moneta né un "giù" dove la moneta possa cadere.